في أحد الأيام، بينما كان ديكارت يفكر في الرياضيات، لاحظ ذبابة تتحرك على سقف غرفته. كان السقف مُغطى ببلاطات مربعة تُشكل شبكة طبيعية. وبينما كان يُراقب الذبابة وهي تهبط في أماكن مختلفة، بدأ يتساءل: كيف يُمكنني وصف موقع الذبابة بدقة باستخدام الأرقام؟ قاده هذا السؤال البسيط إلى فكرة ثورية. تخيّل ديكارت السقف كشبكة، حيث تُمثل إحدى زواياها نقطة مرجعية هي الأصل، ويلتقي فيها محوران. ومن خلال قياس المسافة على كل اتجاه، أصبح ممكناً تمثيل كل نقطة بزوج من الأعداد. هكذا وُلد المستوى الديكارتي، وارتبط الجبر بالهندسة بطريقة غيّرت الرياضيات الحديثة.
Pour démarrer
Activiter
- Déterminer les coordonnées des point \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\) de la figure ci-contre.
- Placer les points \(F(-1,3) K(0,2)\) et \(L(4,0)\)
- Déterminer les composantes des vecteurs \(\vec(AE)\) et \(\vec(FK)\).
- les vecteurs \(vect(AE)\) et \(vect(FK)\) sont ils colinéaires ?
- Les points \(F\), \(K\) et \(D\) sont ils alignés ?
- Les droits \((ED)\) et \(FK\) sont-elles perpendiculaires ?
Activiter
Indiquer parmi les affirmations suivantes celles qui sont correctes.
- La représentation graphique de la fonction affine \(f\), définie par \(f(x) = 3x + 1\), est la droite (\AB)\ telle que:
- \(A(0,1)\); \(B(-1,2)\)
- \(A(0,1)\); \(B(1,4)\)
- \(A(3,1)\); \(B(-2,-5)\)
- Soit \(g\) la fonction affine telle que \(g(0)=5\) et \(g(-1)=7\), Soit \(D\) la représentation graphique de \(g\), le coefficient directeur de la droite \(D\) est:
- \(-2\)
- \(5\)
- \(7\)
- Soit \(h\) la fonction affine telle que \(h(0)=-2\) et \(h(6)=1\) Ona:
- \(h(x)=-2+1\)
- \(h(x)=x-2\)
- \(h(x)=\frac{1}{2}x-2\)
Activités dans un repère cartésien du plan
Activité
Dans la figure ci-contre, \(ABC\) est un triangle, \(I\) est le milieu du côté \([BC]\) et \(M\) est le point défini par \(\vec(AM)=\frac{2}{5} \vec{AI} \).
La paralléle \((AB)\) passant par \(M\) coupe (BC) en \(P\) et la parallèle à \((AC)\) passant par \(M\) coupe \(BC\) en \(Q\).
One se propose de montrer que \(I\) est le milieu de \([PQ]\).
On choisit \((A,\vec{AB},\vec{AC})\) comme repère du plan.
-
- Quelles sont les coordonnée des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(I\) dans ce repère ?
- Calculer les coordonnées du points \(M\).
-
- Vérifier que l'ordonnées du point \(P\) est égale à \(\frac{1}{5}\)
- Soit \(X\) l'abscisse du point \(P\).
Déterminer, en fonction de \(x\), les composantes du vecteur \(\vec{BP}\)
Calculer \(x\).
- Déterminer les coordonnées du point \(Q\).
- Montrer que \(I\) est le miilieu de \([PQ]\).
Fondamentaux du repère et des barycentres
Milieu d’un segment
Le plan est muni d’un repère cartésien \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
Soient \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \) deux points du plan et \( I \) le milieu du segment \([AB]\). Alors :
\[ I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]
Barycentre de deux points
Soient \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), et \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) tels que \( \alpha + \beta \neq 0 \).
Le barycentre \( G \) des points \( (A,\alpha) \) et \( (B,\beta) \) a pour coordonnées :
\[ G\left( \frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta},
\frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta} \right) \]
Barycentre de trois points
Soient \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \) et \( \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} \) tels que \( \alpha+\beta+\gamma \neq 0 \).
Le barycentre \( G \) des points \( (A,\alpha), (B,\beta), (C,\gamma) \) a pour coordonnées :
\[ G\left( \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha +
\beta + \gamma}, \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma
y_C}{\alpha + \beta + \gamma} \right) \]
Droites, directions et perpendicularité
Équation cartésienne d’une droite
Le plan est muni d’un repère cartésien \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).
Toute droite admet une équation cartésienne de la forme :
\[ ax + by + c = 0 \quad \text{avec} \quad (a,b) \neq (0,0) \]
L’équation \( ax + by + c = 0 \) est celle d’une droite.
Vecteur directeur et droites parallèles
Définition
Soit \(A\) un point du plan et \(\vec{u}\) un vecteur non nul.
L'ensemble des points \(M\) du plan tels que les vecteurs \(\vec{AM}\) et \(\vec{u}\) soient colinéaire est une droite appelée la droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\)
On note \(D(\delta, \vec{u})\)
Remarque
Soit \(D\) une droite de vecteur directeur \(\vec{u}\).
Tout vecteur non nul colinéaire à \(\vec{u}\) est aussi un vecteur directeur de \(D\).
Si \( D \) a pour équation \( ax + by + c = 0 \), alors un vecteur directeur est :
\[ \vec{u}(-b, a) \]
Condition analytique de parallélisme de deux droites
Activité
Le plan est muni d'un repère cartésien \((O,\vec{i},\vec{j})\).
-
- Tracer les droites
\(D_1:2x-y+5=0\); \(D_2:6x-3y+2=0\) et \(D_3:-x+y-1=0\) - Déterminer un vecteur directeur de chacune des trois droites.
- Montrer que les droites \(D_1\) et \(D_2\) sont parallèles.
- Les droites \(D_1\) et \(D_3\) sont-elle paralléles ?
- Tracer les droites
- Soient \(D\) et \(D'\) deux droites d'équations respectives \(ax+by+c=0\) et \(a'x+b'y+c'=0\).
Montrer que ( \(D\) et \(D'\) sont paralléles) si et seulement si \((ab'-a'b=0)\).
Deux droites \(D:ax+by+c=0\) et \( D': a'x + b'y + c' = 0\) sont parallèles si :
\[ ab' - a'b = 0 \]
Repères utiles
Collinear : points situés sur une même droite.
Vector : grandeur possédant une direction et une norme, utile pour décrire une position ou un déplacement dans l’espace.
Droites et plans de l’espace
Les axiomes de base
- Axiome 1 : par trois points non alignés, il passe un et un seul plan.
- Axiome 2 : si un plan contient deux points d’une droite, alors cette droite est contenue dans ce plan.
- Axiome 3 : si deux plans distincts ont un point commun, alors ils sont sécants suivant une droite passant par ce point.
- Axiome 4 : tous les résultats de la géométrie plane restent valables dans l’espace.
Activité 1
Soit \(A\) un point et \(D\) une droite de l’espace. Construire un plan passant par \(A\) et parallèle à \(D\).
Activité 2
Soit \(ABCD\) un tétraèdre, \(I\) un point de l’arête \([AB]\), \(J\) un point de l’arête \([CD]\) et \(K\) un point du plan \( (BCD) \).
- Les droites \( (IJ) \) et \( (JK) \) sont-elles coplanaires ? Même question pour \( (IK) \) et \( (JL) \) ?
- Les points \(I\), \(J\), \(A\) et \(K\) sont-ils coplanaires ? Même question pour \(I\), \(A\), \(B\) et \(D\) ?
Coplanarité
- Points coplanaires : ils appartiennent à un même plan.
- Droites coplanaires : elles sont contenues dans un même plan.
Analyse, fonctions et rappel différentiel
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur une partie \(D\) de \(R\) et \(T\) un réel non nul. On dit que \(f\) est périodique de période \(T\), si pour tout \(x \in D\), \(x + T\) appartient à \(D\) et \(f(x + T) = f(x)\).
\( lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \)
\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
\( \frac{df}{dx} \)
\( \sum_{i=1}^{n} i \)
\( \sqrt{x} \sqrt[3]{x} \)
Une fonction \(f\) définie sur un intervalle ouvert \(I\) est dérivable en un réel \(a\) de \(I\) s’il existe un réel, noté \(f'(a)\), tel que \(\lim_{ x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x - a} = f'(a)\).