Exercices et problèmes

APPLIQUER
1
Le plan est muni d'un repère cartésien (O, I, J)
Soit les points A(-1, -3) ; B(1, 0) ; C(4, 1) et D(2, -4).
  • Montrer que ABCD est un parallélogramme.
  • Sachant que E et F les points définis par:
    $$\vec{CE} = \vec{CD} + \vec{AF} = \frac{1}{5}\vec{AB}$$
    • a) Calculer les coordonnées des points E et F, puis les coordonnées du milieu de [EF].
    • b) Vérifier que [EF] et [AC] ont le même milieu.
2
Soient A(-1, -3) ; B(2, -1) et C(-2, -2)
On désigne par G le centre de gravité du triangle ABC.
  • a) Déterminer les coordonnées du point G.
  • b) Déterminer une équation cartésienne de chacune des médianes du triangle ABC.
  • c) Déterminer une équation de chacune des hauteurs du triangle ABC.
3
Soient A(3, 5) et B(-2, 1)
  • a) Calculer le coefficient directeur de chacune des droites (AB), (AC) et (BC).
  • b) Donner l'équation réduite de chacune des droites (AB), (AC) et (BC).
  • c) Déterminer une équation de chacune des hauteurs du triangle ABC.
4
On considère les points A(3, 0), B(-4, -5) et C(-2, -1)
  • a) Calculer le coefficient directeur de chacune des droites (AB), (AC) et (BC).
  • b) Donner l'équation réduite de chacune des droites (AB), (AC) et (BC).
  • c) Déterminer une équation de chacune des hauteurs du triangle ABC.
5
Les droites d'équations y = ax et y = -x + b se coupent en un unique point
dont les coordonnées sont strictement négatives. On en conclut que:
  • • a > 0 et b > 0
  • • a > 0 et b < 0
  • • a < 0 et b > 0
  • • a < 0 et b < 1
  • • a < 1 et b < 0
MAÎTRISER
6
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J)
Déterminer une équation cartésienne du cercle C qui passe par les points A(3, 2) et B(-1, -4) et dont le centre est sur la droite d'équation y = -x.
Déterminer l'équation cartésienne du cercle qui passe en A et en B, D' coupe (xx') en A et (yy') en B.
7
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J)
Soit D la droite d'équation 2x + 3y - 1 = 0 et A(-1, 2).
  • Déterminer l'équation cartésienne du cercle de diamètre [AB].
8
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J)
On considère la droite D d'équation $y = \frac{1}{3}x + 2$ et le cercle C' d'équation $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$.
  • Déterminer l'équation des tangentes à C issues de A.
9
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J)
On considère le cercle C de centre I(2, 1) et de rayon $\sqrt{2}$ et le point A(-2, 3).
  • Montrer que le point A est extérieur à C.
  • b) Déterminer les équations des droites D₁ et D₂ parallèles à D et tangentes à C.
  • c) Tracer, dans le même repère, les droites D₁ et D₂.
10
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J)
On considère les deux ensembles C et C' d'équations respectives:
$$x^2 + y^2 - 6x - 4 = 0$$
$$x^2 + y^2 - 4x - 8y + 4 = 0$$
  • a) Montrer que C et C' sont deux cercles dont on précisera leurs centres et leurs rayons.
  • b) Calculer les coordonnées des points d'intersection de C et C'.
Concours Kangourou
11
Déterminer et représenter l'ensemble des points M(x, y) du plan que 4x² - 9y² = 0
12
Les équations 3x + b·y + c = 0 et x - 2y + 12 = 0, conduisent à la même représentation graphique
Combien y a-t-il de couple (b, c) satisfaisant à cette condition?
  • • 0
  • • 1
  • • 2
  • • un nombre supérieur à 2
  • • une infinité