Arithmétique dans \(\Bbb{Z}\)

\(\Bbb{N}otation : \)

L'ensemble des entier naturelle est note: "\(\Bbb{N}\)", \(\Bbb{N}= \{ 0, 1, 2, 3, ...\} \).
On note \( \Bbb{N}_n = \{ 0, 1, 2, ... , n \} \)
Exemple \( \Bbb{N}_5 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
L'ensemble des entier relatif est note: "\(\Bbb{Z}\)", \(\Bbb{Z}\)= {..., -2, -1, 0 , 1, 2, ...}
\( a,b \in \Bbb{Z}, [a,b] \) l'ensemble des entier compris entre \(a\) est \(b\) \(\spadesuit \left.a\right\rvert b \)

  • une partie de \(\Bbb{N}\) admet toujoure un minoron \(m\) (\(A \subset \Bbb{N} \) ) \(\iff\) (\(\forall k \in A \Rightarrow \exists m \in \Bbb{N}, m \le k \)).
  • une partie de \(\Bbb{N}\) est majourée si elle à dmeé un majoron \(M\), \(\exists M \in \Bbb{N}\) tq \(\forall k \in A, k\le M\).

Divisibillité:

Soit \(a,b\) deux entier relatife
On dit que (\(b\) divise \(a\)) ssi (\(\exists k \in \Bbb{Z}, a = kb \))
On note \(\left.b\right\rvert a\) On dit que \(a\) est divisible par \(b\) (\(a\) est un multiple de \(b\))
Exemple: 3 divise -12, car \(-12 = -4 * 3\)

Nomber premiers

Définition: Un entier naturel \(p >= 2\) est dit premier, si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Un entier naturel, distinc de 1, non premier est appelé entier composé

Théorème:

  • Tout entier naturel différent de 1 admet au moins un diviseur premier
  • Si \(n\) est un entier naturel distinct de 1, alors le plus petit diviseur de \(n\) distinct de 1 est premier

Théorème: Une entier naturel \(n > 1\) est composé, si et seulement si, il admet un diviseur premier inférieur ou égal à \(\sqrt{n}\)